오늘은 지난 게시물에 이어서 ((A))((x)) ((=)) ((b))를 풀어야하는 상황에서 ((A))가 ((n)) x ((n)) 정방행렬일 때 이를 푸는 과정에 대해서 마저 다뤄보겠습니다. Part 1에서는 문제에 대한 접근 전략을 소개해드렸습니다. 바로 ((A))((x)) = ((b))의 ((A))를 더 계산하기 쉬운 ((U))꼴로 바꿀 것이라는 접근 전략입니다. 이를 LU factorization이라고 합니다. Upper triangular matrix인 ((U))꼴과 문제 에 대한 접근 전략을 다시 한 번 더 보시려면 아래의 part 1 게시물을 참고하시면 되겠습니다. https://jaehoonstudy.tistory.com/11 Solving ((A))((x)) ((=)) ((b)) (When ..
오늘은 ((A))((x)) = ((b))를 풀어야하는 상황에서 ((A))가 ((n)) x ((n)) 꼴의 정방행렬일 때 이를 푸는 방법에 대해서 다뤄볼 예정입니다. 두 개의 파트로 나누어서 다뤄볼 것인데, part 1에서는 문제에 대한 접근 전략을, part 2에서는 이를 이용해 문제를 해결하는 과정을 다뤄볼 것입니다. Solving ((A))((x)) = ((b)) (When A is n x n)) Triangular Matrix Triangular matrix, 즉 삼각행렬은 행렬의 주 대각선 성분 위쪽 또는 아래쪽의 성분들이 모두 0인 행렬을 말합니다. 위쪽이 모두 0이면 아래쪽에만 숫자들이 있으니 Lower triangular matrix, 아래쪽이 모두 0이면 위쪽에만 숫자들이 있으니 Upper..
오늘은 inverse matrix에 대해 다뤄보려고 합니다. Matrix는 Linear transformation이고, 일종의 함수입니다. input이 들어오면 이렇게저렇게 뭔가를 바꿔서 output이 나오기 때문입니다. 그렇다면 어떤 함수의 역함수도 있을 수 있을 것입니다. 그것이 행렬의 개념으로 들어온게 바로 역행렬입니다. 결국 직관적으로 이해하자면 행렬은 변환이었으니, '역변환' 정도가 되지 않을까 싶습니다. Inverse의 역할 선형대수학의 목적은 선형방정식들을 잘 표현하고, 그들의 해를 구하는 것입니다. 어떤 Matrix의 inverse를 알 수 있다면, 우리는 그 선형방정식들의 해를 구할 수 있습니다. ((A))((x)) = ((b)) 형태의 식이 있을 때, 이것이 의미하는 바는 A의 colu..
오늘은 determinant에 대해서 알아보도록 하겠습니다. determinant는 행렬의 특성을 나타내는 어떤 값입니다. 먼저 위키피디아의 정의를 한 번 보겠습니다. 선형대수학에서 행렬식(determinant)은 정사각 행렬에 스칼라를 대응시키는 함수의 하나이다. 실수 정사각 행렬의 행렬식의 절댓값은 그 행렬이 나타내는 선형변환이 초부피를 확대시키는 배수를 나타내며, 행렬식의 부호는 방향 보존 여부를 뜻한다. 정의에 따라 determinant는 오직 ((n)) x ((n))행렬, 즉 정사각 행렬에서만 정의됩니다. 이 정의가 무슨 뜻인지에 대해서 오늘 이해를 한 번 해보도록 하겠습니다. 정사각 행렬에 스칼라를 대응시키는 함수 determinant는 하나의 숫자(스칼라)값입니다. 그렇다면 이 값을 어떻게 ..
오늘은 CR factorization, 즉, Column-Row factorization에 대해서 다뤄볼 예정입니다. CR Factorization은 무엇인가? CR factorization은 Column-Row factorization의 약자입니다. 이 CR factorization으로 우리는 Matrix의 Rank를 알 수 있습니다. 또한, 이전에 언급했던 모든 행렬의 Column rank와 row rank가 같은지에 대한 증명이기도 합니다. 왜 CR factorization이냐 하면, 일단 factorization이 분해라는 뜻입니다. 그러니까 직역하면 CR 분해입니다. 지금부터 행렬 A를 행렬 C와 행렬 R 간의 곱으로 분해해 볼 것입니다. CR factorization 하는 방법 현재 A라는 행..
오늘은 행렬 간의 곱셈, 즉 행렬 x 행렬을 어떻게 계산하는 지에 대해 알아보려고 합니다. 이렇게 4가지 방법이 있습니다. 1. 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 차례로 dot product 해주는 방법입니다. 앞 행렬의 첫 번째 행과, 뒤 행렬의 첫 번째 열을 서로 dot product하고, 앞 행렬의 두 번째 행과 뒤 행렬의 두 번째 열을 서로 dot product하고, 이렇게 나아가는 것입니다. dot product한 결과로 나온 숫자의 위치는, 첫 번째 행과 첫 번째 열을 dot product 했으면 ((a₁₁)) 위치에, 첫 번째 행과 두 번째 열을 dot product 했으면 ((a₁₂)), 두 번째 행과 첫 번째 열을 dot product 했으면 ((a₂₁)) 이런 식으로 위치 시킵니다. 2...
오늘은 행렬의 중요한 개념 중 하나인 Rank에 대해 간단히 다뤄보려고 합니다. 이전 게시물에서 행렬의 column space와 row space에 대해서 살펴보았고, 특히 이들 space를 계산하는 과정에서 dependent한 벡터들이 중요하게 작용한다는 것 또한 볼 수 있었습니다. 행렬의 중요한 성질 중에 하나는 "독립적인 column의 수는 독립적인 row의 수와 같다"는 것입니다. Rank 이 Number가 바로 행렬의 rank입니다. Rank는 column (row) space의 차원입니다. 이 차원(dimension)은 각각의 공간에 independent vector가 몇 개 있느냐에 따라 달려있습니다. independent vector가 1개면 직선을 span하고, 2개면 평면, 3개면 3차..
오늘은 행렬이 가지고 있는 공간이자 선형대수에서 4가지 중요한 subspace에 속해있는 column space(열공간)과 row space(행공간)에 대해서 다뤄보려 합니다. Column space Matrix A에 대해서 Column space는 ((C))(((A)))라고 표기하며, Matrix A가 가지고 있는 모든 column들의 조합으로 만들어지는 공간입니다. all outputs ((A))((x))라는 뜻은 (x)가 가질 수 있는 모든 경우의 값들을 전부 다 고려한다는 뜻입니다. 이전 게시물에서 행렬과 벡터를 곱하는 두 가지 관점에 대해서 보셨을 겁니다. https://jaehoonstudy.tistory.com/3 [선형대수] 행렬(Matrix)의 기초 오늘은 행렬에 대해서 다뤄보려고 합니다..
"Matrix as a Linear Transformation" Matrix is a Linear Transformation. 매우 중요한 말입니다. 오늘은 저번 게시물에서 잠깐 다뤘던 '행렬은 선형변환이다' 라는 말에 대해서 설명해보겠습니다. 먼저 약간 얘기하자면, 행렬을 공간 그 자체를 변형시킵니다. 먼저 설명드리기 전에, 영어가 가능하신 분들은 3Blue1Brown님의 영상을 보시는 것을 매우 추천합니다. 이 글도 아래의 영상자료를 기반으로 설명될 예정입니다. https://youtu.be/kYB8IZa5AuE?si=vF9ySJ9-b2LhFP7e Essence of Linear Algebra, Linear transformations and matrices 우리가 기본적으로 선형대수에서 어떤 벡터를..
오늘은 행렬에 대해서 다뤄보려고 합니다. 행렬은 직사각형 모양으로 된 숫자들의 배열입니다. 숫자들을 행(Row)와 렬(Column)에 맞춰서 배열하기 때문에 행렬입니다. 그런데 단순한 배열이 아니라 각 element 간의 관계나 선형사상(Linear mapping)의 정보를 가지고 있는 배열입니다. 처음부터 이 개념을 박아두고 시작하면 좋은데, 행렬은 선형변환입니다. 우선은 행렬의 기초적인 부분만 먼저 보고, 선형변환(Linear Transformation)은 다음 게시물에서 보도록 하겠습니다. 행렬은 이렇게 생겼으며, 어떤 벡터는 오직 하나의 행이나 열을 가진 특별한 행렬이라고 다시 말할 수 있습니다. 행렬은 일반적으로 mxn 행렬이라고 표현됩니다. m개의 가로줄(행)과 n개의 세로줄(열)이라고 표현됩..
