[선형대수] 행렬(Matrix)의 기초

 

오늘은 행렬에 대해서 다뤄보려고 합니다.

 

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행렬은 직사각형 모양으로 된 숫자들의 배열입니다. 숫자들을 행(Row)와 렬(Column)에 맞춰서 배열하기 때문에 행렬입니다. 그런데 단순한 배열이 아니라 각 element 간의 관계나 선형사상(Linear mapping)의 정보를 가지고 있는 배열입니다. 처음부터 이 개념을 박아두고 시작하면 좋은데, 행렬은 선형변환입니다. 

 

우선은 행렬의 기초적인 부분만 먼저 보고, 선형변환(Linear Transformation)은 다음 게시물에서 보도록 하겠습니다.

 

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행렬은 이렇게 생겼으며, 어떤 벡터는 오직 하나의 행이나 열을 가진 특별한 행렬이라고 다시 말할 수 있습니다.

 

 

행렬은 일반적으로 mxn 행렬이라고 표현됩니다. m개의 가로줄(행)과 n개의 세로줄(열)이라고 표현됩니다. 그래서 각 element들을 indexing(위치를 표현하는)할 때도 위의 ((aₘₙ)) 행렬을 볼 때는 위의 사진처럼 두 가지 시각이 있는데, n개의 column vector로 구성되어있다고 볼 수도 있고, m개의 row vector로 구성되어있다고 볼 수도 있습니다. 보통 n개의 column vector로 구성되어있다는 관점이 더 많이 유용하게 쓰입니다.

 

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행렬 x 벡터

 

행렬과 벡터를 곱하는 방법에는 두 가지 관점(방법)이 있습니다. 첫 번째로는 Row way, 두 번째로는 Column way입니다.

먼저 행렬 ((A))와 벡터 ((x))가 있고, 이 둘을 곱한 결과가 ((Ax))라고 해보겠습니다.

 

1. Row way

 

행렬 A의 각 Row(행)들을 벡터 ((x))와 내적(dot product)하는 것입니다. 

 

((Ax)) = ((\begin{bmatrix}
2&5\\ 
3&7 
\end{bmatrix})) ((\begin{bmatrix}
v\\ 
w
\end{bmatrix})) = ((\begin{bmatrix}
2v+5w\\ 
3v+7w
\end{bmatrix}))

 

이렇게 첫 번째 행 (2,5)와 ((\begin{bmatrix}
v\\ 
w
\end{bmatrix}))를 곱해주고, 두 번째 행 (3,7)과 ((\begin{bmatrix}
v\\ 
w
\end{bmatrix}))를 곱해주는 것입니다. 자리는 기존의 자리에 그대로 씁니다. 

 

2. Column way

 

행렬 곱하기 벡터의 결과물인 ((Ax))는 행렬 A의 Column들의 조합이라고 보는 관점입니다.

이 관점이 행렬은 선형변환이다 라고 이해하는데 더 중요한 관점입니다. 

연산 방법은 위와 같습니다.

 

좀 더 풀어서 설명해보겠습니다.

 

 

직관적으로 설명을 드리면, 벡터 ((x))의 각 요소 ((v₁)), ((v₂))에 각각 행렬의 column 1과 column 2가 영향을 끼치고, 값을 변화시키고 있습니다. 이는 행렬이 벡터의 좌표값 그 자체에 변환을 준다고 해석할 수 있으며, 행렬을 Linear Transformation이라고 말하는 이유입니다. 자세한 내용은 다음 게시물에서 살펴보도록 하고, 일단은 행렬이 벡터에 영향을 행사하여 값을 변화시킨다라고 알아두면 좋을 것 같습니다. 결국 이 관점에 따르면 행렬 x 벡터는 행렬 A의 column들의 Linear combination이라는 점입니다.