행렬(Matrix) - Column space & Row space

 

 

오늘은 행렬이 가지고 있는 공간이자 선형대수에서 4가지 중요한 subspace에 속해있는 column space(열공간)과 row space(행공간)에 대해서 다뤄보려 합니다.

 

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Column space

 

 

 

Matrix A에 대해서 Column space는 ((C))(((A)))라고 표기하며, Matrix A가 가지고 있는 모든 column들의 조합으로 만들어지는 공간입니다. all outputs ((A))((x))라는 뜻은 (x)가 가질 수 있는 모든 경우의 값들을 전부 다 고려한다는 뜻입니다. 

 

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이전 게시물에서 행렬과 벡터를 곱하는 두 가지 관점에 대해서 보셨을 겁니다.

https://jaehoonstudy.tistory.com/3 

[선형대수] 행렬(Matrix)의 기초

 

그 두 가지 관점 중에서 Column way를 다시 보면,

 

 

((Ax))가 Matrix A의 column들을 ((x))를 계수 삼아 Linear combination하는 과정으로 해석할 수 있다는 것을 보셨을 것입니다. 그렇기 때문에 Column space는 all outputs ((Ax))라고 표현한 것입니다.

 

결국 어떤 Matrix의 Column space는 column들의 Linear combination으로 나올 수 있는 모든 경우의 수(벡터)들이 이루는 공간인 것입니다. 직관적으로도 Column space, 열들이 이루는 공간이라는 뜻입니다.

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Linear dependence와의 관련성

 

Column끼리 Linearly dependent 할 수도 있습니다. 쉽게 말하자면 Matrix 내에서 하나의 column을 다른 column들의 조합으로 표현할 수 있다면, 그것은 전혀 새로운 내용이 아니기에 column끼리의 dependency가 있는 것이며, 새로운 차원을 span(만들지) 하지 않습니다. 

 

저번 게시물의 예시를 다시 보자면, 위의 그림은 ((\begin{bmatrix}
3\\ 
4\\ 
5
\end{bmatrix})), ((\begin{bmatrix}
6\\ 
8\\ 
10
\end{bmatrix}))을 시각화 한 것입니다. 빨간색 화살표가 ((\begin{bmatrix}
3\\ 
4\\ 
5
\end{bmatrix})), 파란색 화살표가 ((\begin{bmatrix}
6\\ 
8\\ 
10
\end{bmatrix}))입니다. 그러면 Matrix A를 아래와 같이 정의해보겠습니다.

 

((A)) = ((\begin{bmatrix}
3 & 6\\ 
4& 8\\ 
5 & 10
\end{bmatrix}))

 

A의 첫 번째 column을 단순히 2배하면 두 번째 column을 만들 수 있기에 linearly dependent한 column들이 행렬 내에 존재합니다. 그렇기에 A에서 두 번째 column은 전혀 새로울게 없으며 첫 번째 column을 늘리거나 줄여서 만들 수 있는 공간(span)과 두 번째 column을 늘리거나 줄여서 만들 수 있는 공간은 하나의 일직선으로 같습니다. 결국 지금 Matrix A에서 column들이 만들어 낼 수 있는 모든 경우의 수가 이루는 공간은 그저 직선일 뿐인 것입니다. 

 

이를 좀 더 빠르게 알 수 있는 방법은, 먼저 행렬 A의 column들이 3차원 벡터이지만 column의 개수는 2개 밖에 존재하지 않습니다. 그렇다면 이전 게시물에서 우리가 알 수 있었던 행렬은 basis vector의 좌표이다라는 내용을 다시 떠올려 보겠습니다. 

 

((A)) = ((\begin{bmatrix}
3 & 6 & ?\\ 
4& 8 & ?\\ 
5 & 10 &? 
\end{bmatrix})) 

 

((\begin{bmatrix}
3\\ 
4\\ 
5
\end{bmatrix}))가 3차원에서 첫 번째 basis vector(x축이라고 가정)의 변환 후 좌표이고, ((\begin{bmatrix}
6\\ 
8\\ 
10
\end{bmatrix}))이 두 번째 basis vector(y축이라고 가정)의 변환 후 좌표입니다. 그런데 세 번째 축인 z축에 대한 변환 좌표 정보가 없습니다. 그래서 이렇게 직사각형인 행렬(Rectangular Matrix)는 기본적으로 차원이 보존될 수 없으며, 지금 가지고 있는 두 개의 column이 모두 independent 하더라도 3차원 공간이 아닌 2차원 평면밖에 만들어낼 수 없습니다. 거기다가 심지어 가지고 있는 두 개의 column이 서로 독립적이지도 않고 하나의 column으로 모두 표현할 수 있으니 만들어내는 column space가 그저 하나의 line일 뿐인 것입니다. 

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Row space

 

Row space도 column space와 유사합니다. 이번에는 행(Row)들의 조합으로 만들어내는 공간입니다. column vector를 그대로 가져갈 수 있는데, 행렬에서 행을 열의 뒤집힌 버전으로 보는 방법입니다.

 

 

transpose에 대해서 잠깐 살펴보자면, Matrix의 element들의 index를 뒤집어버리는 것입니다. 

 

 

이게 Matrix A라고 한다면, 각 원소들의 index가 위 그림처럼 될 것입니다. ((aₘₙ))을 ((aₙₘ))으로 바꿔버리는 것입니다. 그러면 행렬의 첫 번째 column은 첫 번째 row가 될 것이고, 첫 번째 row는 첫 번째 column이 될 것입니다. 

 

이 논리대로라면, column space를 transpose한다면 row space가 나올 것입니다. 

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Excercise

 

((A)) = ((\begin{bmatrix}
1 & 2 & 5 & 1\\ 
3 & 4 & 6 & 7
\end{bmatrix}))

 

1. 행렬 A의 column space는?

2. 행렬 A의 row space는?