행렬의 곱셈(Matrix-Matrix Multiplication)

 

 

오늘은 행렬 간의 곱셈, 즉 행렬 x 행렬을 어떻게 계산하는 지에 대해 알아보려고 합니다.

 

from Lecture note

 

이렇게 4가지 방법이 있습니다.

 

 

1. 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 차례로 dot product 해주는 방법입니다.

 

앞 행렬의 첫 번째 행과, 뒤 행렬의 첫 번째 열을 서로 dot product하고, 앞 행렬의 두 번째 행과 뒤 행렬의 두 번째 열을 서로 dot product하고, 이렇게 나아가는 것입니다.

 

dot product한 결과로 나온 숫자의 위치는, 첫 번째 행과 첫 번째 열을 dot product 했으면 ((a₁₁)) 위치에, 첫 번째 행과 두 번째 열을 dot product 했으면 ((a₁₂)), 두 번째 행과 첫 번째 열을 dot product 했으면 ((a₂₁)) 이런 식으로 위치 시킵니다.

 

 

2. Matrix와 vector의 곱이라고 보는 시각의 방법이 있습니다.

 

앞 Matrix의 column들을 뒤 Matrix column의 계수로 Linear combination 하여 뒤 Matrix의 column의 위치에 놓는 방법입니다. 

 

3. 뒤 Matrix의 row들을 앞 Matrix의 row의 계수들로 Linear combination 하는 방법입니다.

 

2번 방법은 column들을 Linear combination 하는 방법이었다면, 이번에는 row들을 Linear combination 하는 방법입니다.

 

4. 앞 Matrix의 column과 뒤 Matrix의 row를 곱해주는 방법입니다(외적).

 

앞 Matrix의 column 1과 뒤 Matrix의 column 1, 앞 Matrix의 column 2와 뒤 Matrix의 column 2 이렇게 쌍으로 곱해주고, 나온 Matrix들을 다 더하는 방식입니다.

 

---

 

 

행렬의 곱셈의 결합법칙(Associative Law)

 

 

 

 

행렬 간의 곱셈에는 결합법칙이 적용됩니다.

 

왜 그럴까요?

 

증명은 정말 간단합니다. 직관적인 이해도 가능합니다. "바로 변환을 어떤 순서로 해도 상관없기 때문"입니다.

 

앞에서 행렬은 선형변환이라고 했습니다. 행렬은 공간을 변화시키는 행위입니다. 그렇기 어떤 순서로 공간을 변화시켜도 결과물은 달라지지 않습니다. 예시를 들어보겠습니다.

 

만약,

 

Matrix A = 공간을 오른쪽으로 90도로 회전시키는 변환

Matrix B = 공간을 왼쪽으로 45도로 회전시키는 변환

 

이라고 해보겠습니다. 그렇다면 A를 먼저 하나 B를 먼저 하나 결과에는 큰 차이가 없습니다. 

원래 벡터

시계방향으로 90도 회전

다시 반시계방향으로 45도 회전

 

 

이번엔 반시계방향 45도 회전 먼저 해보겠습니다.

 

원래 벡터

반시계방향으로 45도 회전

시계방향으로 90도 회전

 

 

 

 

결과가 같음을 볼 수 있습니다.