안녕하세요, 오늘은 그람-슈미트 과정을 직접적으로 다루기 전 그람-슈미트를 왜 하는지와, 직교성과 Orthonomal에 대해서 설명해보려고 합니다. 그람-슈미트 과정은, 이를 왜 하는지에 대한 이유와 필요한 개념들을 설명하기 위한 part 1과, 직접 계산을 해보는 part 2로 나누어서 다뤄볼 것입니다. 반드시 직전의 게시물을 보고 오시는 것을 추천드립니다. https://jaehoonstudy.tistory.com/21 부분공간에 벡터 투영시키기(Projection onto Subspaces) 오늘은 벡터를 부분공간에 project하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 지난 게시물인 '직교성과 부분공간' 의 마지막 부분에 이어서 진행해보도록 하겠습니다. https://jaehoonstudy.tis..
오늘은 벡터를 부분공간에 project하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 지난 게시물인 '직교성과 부분공간' 의 마지막 부분에 이어서 진행해보도록 하겠습니다. https://jaehoonstudy.tistory.com/20 직교성(Orthogonality)과 부분공간(Subspaces) 오늘은 직교하는 벡터들과 부분공간들에 대해서 간단히 다뤄보도록 하겠습니다. 직교하는 성질은 공학에서도 중요한 성질입니다. 직교성(Orthogonality)가 충족된다면, 독립(independence)를 보장해주 jaehoonstudy.tistory.com 일단 벡터의 projection을 시작하기 전에, 벡터를 더하는 것이 어떤 의미인지 알아보겠습니다. 벡터의 덧셈 시각화 벡터를 더한다는 것이 무슨 의미인지 시각적..
오늘은 직교하는 벡터들과 부분공간들에 대해서 간단히 다뤄보도록 하겠습니다. 직교하는 성질은 공학에서도 중요한 성질입니다. 직교성(Orthogonality)가 충족된다면, 독립(independence)를 보장해주기 때문입니다. 또한 선형대수에서도 중요한 성질이며 계산을 편리하게 해주는 역할도 해줍니다. 벡터가 직교한다는 것 벡터가 직교한다는 것은 다음과 같은 성질을 만족할 때 직교한다는 것입니다. 참고로 직교는 직각이라는 뜻입니다. 이렇게 생겼을 것입니다. 그러면 벡터가 직교한다는 것을 어떻게 알 수 있을까요? 두 벡터를 내적했을 때, 값이 0이 나온다면 그 두 벡터는 직교하는 것입니다. 위의 그림의 벡터들을 수식으로 나타내보면, 가 되며, -2 x 2 + 1 x 4 = 0이 되므로 직교인 것을 알 수 있..
저번 게시물에서 해의 존재성에 대해 자세히 다뤘었습니다. 이번에는 드디어 해가 존재할 때, 이를 어떻게 푸는지 알아보도록 하겠습니다. 이전에는 ((A))가 ((m)) = ((n))이고 dependent한 column이 없는 특수한 경우만 다뤘었다면, 이제는 이를 일반화 시켜서 해가 존재할 때, ((A)) 내에 dependent한 column들이 있을 때도, ((A))가 ((m)) = ((n))인 정방행렬(square matrix)이 아닐 때도 통하는 방법에 대해서 다루는 것입니다. ((A))((x)) ((=)) ((b))의 complete solution을 구하는 방법 저번 게시물인 해의 존재성에 대한 게시물을 보시지 않으셨다면, 이를 반드시 보고 오시는 것을 추천드립니다. https://jaehoons..
오늘은, 우리가 푸는 문제인, ((A))((x)) ((=)) ((b)) 를 풀기 전 확인해야하는 해의 존재성에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 해가 유일할 때, 없을 때, 무한할 때와 그에 따른 ((A))의 모양과 함꼐 연관지어 살펴보도록 하겠습니다. 해가 유일할 때 / 없을 때 / 무한할 때 - 해는 어떤 상황에서 과연 몇 개인가? 우리는 이제 ((x)) ((+)) ((y)) ((=)) ((2)) ((x)) ((-)) ((y)) ((=)) ((0)) 과 같은 선형시스템을 ((A))((x)) ((=)) ((b)) 처럼 행렬을 이용해서 표현할 수 있다는 것을 알고 있습니다. ((\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}))((\begin{bmatrix} x\\ y \en..
오늘은 이전 게시물에서 다루었던 부분공간들을 발견할 수 있는, 그리고 이후 문제 해결에서 도움이 되는 가우스-조던 소거법과, rref(기약 행사다리꼴)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. Gauss-Jordan Elimination(가우스-조던 소거법) 이전 게시물에서 가우스 소거법(Gaussian Elimination)을 다룬 적이 있습니다. 이번에는 가우스 소거법이 아니라 한층 더 나아간, 가우스-조던 소거법에 대해서 다뤄볼 것입니다. 우리는 이전에 가우스 소거법을 이용하여 주어진 행렬 ((A))를 ref, row echelon form의 형태로 만들어주었습니다. https://jaehoonstudy.tistory.com/12 Solving ((A))((x)) ((=)) ((b)) (When ((n)) ..
오늘은 선형대수의 4개의 주요 부분공간에 대해서 다뤄보려고 합니다. 간단히 다루고, 다음 게시물에서 이를 찾아내는 방법에 대해서 가우스-조던 소거법과 함께 다뤄보도록 하겠습니다. 4 Fundamental Subspaces 우리는 이전에 부분공간이 무엇인지에 대해 다뤘었습니다. 이번에는 선형대수학에서 중요한 부분공간 4개를 다뤄보려고 하는데, 그것은 각각 Column space, Row space, Null space, Left nullspace 입니다. 이들을 정의와 함께 보시죠. 이렇게가 각각 공간들의 정의입니다. Column space는 ((A))((x)) 를 했을 때 나오는 모든 벡터들이 이루는 공간이며, Row space는 행렬의 행을 가지고 행((y))를 했을 때 나오는 모든 벡터들이 이루는 공..
오늘은 Vector space와 그 subspace에 대해 알아보도록 하겠습니다. Vector Space의 정의 Vector space는 그 공간의 원소(벡터)들을 서로 더하고 늘리거나 줄일 수 있는 비어있지 않은 공간입니다. 벡터 공간의 벡터들과 스칼라들은 다음 10가지 공리를 따라야합니다. ((u)), ((v)), ((w))는 벡터이고, ((c)), ((d))는 스칼라입니다. ((u)) ((+)) ((v)) 가 공간 ((V)) 안에 존재한다. ((u)) ((+)) ((v)) = ((v)) ((+)) ((u)) (((u)) ((+)) ((v))) ((+)) ((w)) = ((u)) ((+)) (((v)) ((+)) ((w))) ((u)) ((+)) ((-u)) ((=)) ((0)) 을 만족시키는 영벡터..
오늘은 positive definite matrix와 Hessian, 그리고 Convexity에 대해 간단히 다뤄보도록 하겠습니다. Definition(정의) 우선 정의부터 알아야겠죠, Positive definite matrix는 다음과 같은 정의를 따르는 어떤 행렬입니다. ((x^{T}))((A))((x)) ((>)) ((0)), ((x)) ((\neq)) ((0)) 이게 무슨 정의인가 싶습니다. 한 눈에 들어오지도 않고요. 하나하나 뜯어서 살펴보겠습니다. 우리가 내적을 쓸 때, 예를 들어서 ((a))와 ((b))를 내적할 때, 표기는 다음과 같다는 것을 다룬 적이 있습니다. ((a^{T}))((b)) = ((\left | a \right |))((\left | b \right |))((cos\the..
오늘은 matrix의 transpose와 symmetric matrix에 대해 간단히 살펴보도록 하겠습니다. Transpose 만드는 법 이전 게시물에서 transpose에 대해 간단히 다룬 적이 있는데, 바로 행렬 안 성분들의 index를 반대로 바꿔주면 되었습니다. 이렇게 인덱스를 ((ij))에서 ((ji))로 바꿔주면 ((A)) transpose를 구할 수 있습니다. Transpose 관련 성질들 그렇다면 합과 곱에 대한 법칙도 알아볼까요? 여기서 특이한 점은 ((AB))의 transpose를 하면 순서가 바뀐다는 것입니다. 이것을 응용하여 ((A^{T}))((A))의 transpose도 구할 수 있습니다. Symmetric Matrix Symmetrix Matrix(대칭행렬)은 ((S^{T})) ..
