Vector Space(벡터공간), Subspace(부분공간)

 

오늘은 Vector space와 그 subspace에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

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Vector Space의 정의

 

Vector space는 그 공간의 원소(벡터)들을 서로 더하고 늘리거나 줄일 수 있는 비어있지 않은 공간입니다. 벡터 공간의 벡터들과 스칼라들은 다음 10가지 공리를 따라야합니다. ((u)), ((v)), ((w))는 벡터이고, ((c)), ((d))는 스칼라입니다.

 

1. ((u)) ((+)) ((v)) 가 공간 ((V)) 안에 존재한다.
2. ((u)) ((+)) ((v)) = ((v)) ((+)) ((u))
3. (((u)) ((+)) ((v))) ((+)) ((w)) = ((u)) ((+)) (((v)) ((+)) ((w)))
4. ((u)) ((+)) ((-u)) ((=)) ((0)) 을 만족시키는 영벡터가 공간 ((V)) 안에 존재한다.
5. 공간 ((V)) 안에 있는 ((u))에 대해, ((u)) ((+)) ((-u)) ((=)) ((0))을 만족시키는 ((-u))가 존재한다.
6. ((u))가 ((V)) 안에 존재할 때, ((c))((u))도 ((V)) 안에 존재한다.
7. ((c))(((u)) ((+)) ((v))) = ((c))((u)) ((+)) ((c))((v))
8. (((c)) ((+)) ((d)))((u)) = ((c))((u)) ((+)) ((d))((u))
9. ((c))(((d))((u))) = (((c))((d)))((u))
10. ((1))((u)) ((=)) ((u))

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Vector space examples

• ((R^{n}))
• Subspace of ((R^{n}))
• Matrix ((R^{m x n}))
• 함수 ((a))((x)) ((+)) ((b))

 

Not Vector space

• Half-line ((x)) ((\geq)) ((0))

5번 공리에 따르면, ((-x))도 공간에 있어야 하는데 ((x)) ((\geq)) ((0)) 입니다. 따라서 벡터 공간이 아닙니다.

• Singular matrix

((\begin{bmatrix}
1 & 0\\ 
0 & 0
\end{bmatrix})) + ((\begin{bmatrix}
0 & 0\\ 
0 & 1
\end{bmatrix})) = ((\begin{bmatrix}
1 & 0\\ 
0 & 1
\end{bmatrix})) Identity는 not singular입니다. singular matrix가 공간인데 non singular가 나온 경우입니다. 따라서 벡터 공간이 아닙니다.

• Space of all matrix

우리는 다른 서로 다른 크기를 가진 행렬들에 대해 덧셈과 뺄셈을 정의할 수가 없기 때문에 벡터 공간이 아닙니다.

 

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Subspace(부분공간)

 

부분공간 ((S))는, 다음과 같은 3가지 조건을 만족하는 벡터공간 ((V))의 부분집합 ((H))입니다.

 

1. ((V))의 영벡터가 ((H))에 존재한다. (선형대수학에서 거의 대부분은 원점을 포함해야하는 경우가 많습니다)
2. 벡터 ((u))와 ((v))가 ((H))에 있을 때, ((u)) + ((v))도 ((H))에 존재한다.
3. 벡터 ((u))가 ((H))에 있을 때, ((c))((u))도 ((H))에 존재한다.

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모든 부분공간은 벡터공간입니다. 부분공간의 정의에 의해 부분공간은 벡터공간의 부분집합이기 때문입니다. 이와 마찬가지로, 모든 벡터공간은 부분공간이 될 수 있습니다. 부분공간의 정의를 이미 벡터공간이 모두 만족하고 있기 때문입니다.