Four Fundamental Subspaces(4개의 주요 부분공간)

 

오늘은 선형대수의 4개의 주요 부분공간에 대해서 다뤄보려고 합니다. 간단히 다루고, 다음 게시물에서 이를 찾아내는 방법에 대해서 가우스-조던 소거법과 함께 다뤄보도록 하겠습니다.

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4 Fundamental Subspaces

 

우리는 이전에 부분공간이 무엇인지에 대해 다뤘었습니다. 이번에는 선형대수학에서 중요한 부분공간 4개를 다뤄보려고 하는데, 그것은 각각 Column space, Row space, Null space, Left nullspace 입니다. 이들을 정의와 함께 보시죠.

 

이렇게가 각각 공간들의 정의입니다. 

 

Column space는 ((A))((x)) 를 했을 때 나오는 모든 벡터들이 이루는 공간이며,

Row space는 행렬의 행을 가지고 행((y))를 했을 때 나오는 모든 벡터들이 이루는 공간이며,

Null space는 ((A))((x)) ((=)) ((0))일 때 나오는 모든 ((x)) 벡터이며,

Left Nullspace는 마찬가지로 행을 가지고 했을 때 나오는 모든 ((y)) 벡터입니다.

 

이들을 기억하거나 머리 속에 넣을 때,

 

Column space는 ((A))((x)),

Row space는 행 가지고 Linear combination한 것들,

Null space는 ((A))((x)) = ((0))의 ((x))들,

Left Nullspace는 행 가지고 ((=)) ((0)) 했을 때의 ((y))들

 

이런 식으로 기억하면 편합니다. 특히 Null space는 ((A))((x)) ((=)) ((0)) 이라고 딱 기억해놓으면 좋을 것 같습니다. 

 

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4가지 부분공간 간의 관계

 

4가지 부분공간들은 서로 관계성이 있는데요, 선형대수학에서 아주 유명한 그림이 하나 있습니다.

 

Gilbert Strang, MIT

 

 

바로 이 그림인데요, 4가지 부분공간들의 관계를 잘 보여주는 그림입니다. 여기서 알아두어야 할 것은, ((A))가 ((m)) x ((n)) 행렬이라는 것이고, 위의 ((m))과 ((n))이 바로 그 이야기를 하는 것입니다.

 

먼저 오른쪽에 우리가 제일 친숙한 Column space부터 살펴보겠습니다. Column space라는 글자 밑에는 all ((A))((x))라고 되어있습니다. 이는 우리가 위에서 보았던 정의입니다. 그리고 옆에 dim ((r))이라고 적혀있습니다. 이는 Column space의 차원을 ((r))이라고 표기한 것입니다. 어떤 벡터 공간의 차원은 그 공간을 구성하는 독립적인 Basis vector의 개수입니다. 그니까 ((A))에 ((r))개의 independent vector가 존재한다는 뜻입니다. 

밑에 보면 Left NullSpace가 있는데, 이상한 네모 둘이서 직각으로 맞닿아 있습니다. 이는 Column space가 Left Nullspace와 직교한다(직각이다)는 뜻입니다. 그리고 Left Nullspace의 차원은 ((m)) - ((r))의 차원을 지닌다는 뜻입니다.

 

왼쪽에는 또 우리가 본 적이 있는 Row space가 있습니다. 이전 게시물에서 CR factorization을 통해 Row space의 차원 = Column space의 차원이라고 말했던 것이 기억나시나요? https://jaehoonstudy.tistory.com/8

CR Factorization

 

그래서 Row space의 차원도 똑같이 ((r))입니다. 그리고 Nullspace는 row space와 직교하고, 차원의 수는 ((n)) - ((r))이 되는 것입니다.

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아래에 MIT의 Gilbert Strang 교수님께서 저술하신 책의 pdf 부분을 잠깐 가져와보았습니다. 공부하시다가 추가적인 자료가 될 수 있을 것 같아서, 한 번 들여다보는 것도 좋을 것 같습니다. 다음 게시물에서는 가우스-조던 소거법을 통해 rref를 구해보고, rref를 통해 부분공간에 대한 설명도 조금 더 이어나가보도록 하겠습니다.